Matrix Elemente

Das Matrixelement als Bestandteile einer Matrix in der Mathematik, siehe Matrix (Mathematik)#Elemente des Matrixelements (Physik), ein Begriff aus der Quantenmechanik. In der Zeile $ i$ und Spalte $ j$ wird das Element der Matrix $ A$ mit A(i,j) bezeichnet. Der Befehl A(i,j) bezieht sich in MATLAB auf das Element $ a_$ der Matrix $ A$ . Aber MATLAB bietet einen weitaus fortschrittlicheren Aspekt der Indizierung, der einen einfachen Zugriff auf bestimmte Regionen innerhalb einer Matrix ermöglicht. Die Matrix ist ein rechteckiges Schema, dessen Elemente gemeinsame Zahlen, aber auch andere mathematische Elemente wie Variationen oder Funktionen sein können.

Matrize (Mathematik)

Eine Matrix (mehrere Matrizen) ist in der Regel eine rechtwinklige Gliederung (Tabelle) von mathematischen Gegenständen (z.B. Zahlen). Diese können dann auf eine bestimmte Art und Weise durch Addition oder Multiplikation von Matrixen berechnet werden. Die Matrize ist ein Schlüsselbegriff der Linearalgebra und kommt in nahezu allen Bereichen der mathematischen Lehre vor.

Der Name Matrix wurde 1850 von Jakobus Josef Silvester vorgestellt. Es werden die entsprechenden Felder angegeben. Ein allgemeines Raster mit Reihen und Säulen könnte so aussehen: . Wenn man sich für die Gruppe der Realzahlen entscheidet, dann redet man von einer Realmatrix mit Komplexzahlen einer Komplexmatrix. Die einzelnen Reihen und Reihen werden oft als Spaltenvektoren oder Reihenvektoren bezeichne.

Beispielsweise wird in reiner Reihen- und Spaltendarstellung der unveränderbare Inhalt manchmal ausgelassen und in einigen Bücher werden Spaltendarstellungen als vertauschte Zeilendarstellungen dargestellt, wie in diesem Beispiel gezeigt: Die Art einer Matrix wird durch die Zahl der Reihen und Säulen bestimmt. Die Matrix mit Reihen und Säulen wird als Matrix bezeichnet (d.h.: „m mal n“ oder „m mal n“ Matrix).

Entspricht die Zahl der Reihen und Säulen, sprechen wir von einer Quadratmatrix. Matrix ist sowohl eine Spaltenmatrix als auch eine Zeilenkreuzschiene und gilt als skalare Matrix. Sie entspricht der Zahl der Zeilen bzw. der Spalte. Diese formale Begriffsbestimmung einer Matrix als Funktionalität ist nicht zu verkennen, dass die Matrix selbst ein lineares Bild beschreibt. Alle über der Matrix liegenden Matrixen sind ebenfalls in gewohnter Schreibweise verfasst; dafür hat sich die Kurzschreibweise durchgesetzt.

Arithmetische Elementaroperationen werden auf dem Platz der Matrix festgelegt. Es können zwei weitere Matrixen hinzugefügt werden, wenn sie vom gleichen Typs sind, d.h. wenn sie die gleiche Zeilenanzahl und Spaltenanzahl haben. Dabei wird die Gesamtheit zweier Matrizes Component für Component definiert: Die Matrizeneinträge in der Linearalgebra sind in der Regel Elemente eines Körper, wie z.B. reelle oder komplexe Nummern.

Die Matrixaddition ist in diesem Falle eine assoziative, kommutative und hat ein Neutralelement mit der Nullematrix. In der Regel hat die Matrixaddition diese Eigenschaft jedoch nur, wenn die Eingaben Elemente einer Algebraische Strukturen mit diesen Eigenschaft sind. Die Multiplikation einer Matrix mit einem Scalar erfolgt durch Multiplikation jedes Eintrags der Matrix mit dem Scalar:

Berechnungsbeispiel: Zwei Matrixen können vervielfacht werden, wenn die Anzahl der Spalten in der rechten Matrix mit der Anzahl der Zeilen in der rechten Matrix übereinstimmen. Aus einer Matrix und einer Matrix entsteht eine Matrix, deren Eingaben durch Anwendung der Summenformel, ähnlich dem skalaren Erzeugnis, auf ein Paar eines Zeilenvektors der ersten und eines Spaltenvektors der zweiten Matrix errechnet werden: Das Ergebnis ist eine Matrix:

Diese Matrix-Multiplikation ist nicht kommutierend, d.h. generell . Matrixmultiplikation ist jedoch eine assoziative, d.h. es ist immer wahr, dass eine Reihe von Matrixmultiplikationen daher anders geheftet werden kann. Die Problematik, eine Verbindung zu suchen, die zu einer Rechnung mit der geringsten Zahl von Grundrechenarten führen kann, ist ein Optimalisierungsproblem.

Matrixaddition und Matrixmultiplikation erfüllen ebenfalls beide Verteilungsgesetze: Quadratmatrizen können mit sich selbst vervielfacht werden, ähnlich wie die Potenzen der Realzahlen, die Matrixpotenzen usw. können abgekürzt werden. Daher ist es ratsam, in Polynomen rechteckige Matrixen als Elemente zu verwenden. Quadratmatrizen über oder können auch in Leistungsreihen verwendet werden, vgl. Matrix exponentiell.

Die Quadratmatrizen über einem Kreis nehmen bei der Matrixmultiplikation eine Sonderstellung ein. Auch bei Matrixaddition und -vervielfachung bildet diese ihrerseits den sogenannten Matrixring die Transponierung. In der Hauptdiagonale wird die Matrix wiedergegeben. Eine Matrize mit inverser Matrix wird als invertierbar oder normale Matrize bezeichne.

Nicht invertierbare Matrizes werden dagegen als Singularmatrizen oder Singularmatrizen genannt. Verallgemeinerungen der Inverse für einzelne Matrizes sind sogenannte Pseudoinversive-Matrizes. Es ist nicht festgelegt, da sich die Spaltenanzahl von in der Regel von derjenigen von. Der Satz von Matrixen über einem Korpus formt mit der Matrixaddition und der skalaren Multiplikation einen Vectorraum.

Die Grundlage dafür bildet der Satz von Normmatrizen mit“. In manchen Fällen wird diese Grundlage auch als Standardgrundlage für ein echtes skalares Produkt angesehen. Die Symmetrie der Matrix und die Schrägsymmetrie sind in diesem Raum des Vektors zueinander rechtwinklig. Bei Verwendung einer symetrischen und einer schiefen Symmetriematrix kommt ein kompliziertes skalares Produkt zum Einsatz und der Matrixraum wird zu einem einheitlichen Vectorraum.

Der durch das Frobenius-Skalarprodukt hervorgerufene Standard heisst Frobenius-Norm und mit ihm wird der Matrixraum zu einem Banach-Raum. Es ist eine Verbindung zwischen der Gruppe der Matrix und der Gruppe der Geradlinigkeit. Aus dem Matrizenprodukt wird die Zusammensetzung der Linearbilder (eine nach der anderen). Da Klammern bei der aufeinanderfolgenden Ausführung von drei Linearabbildungen keine Bedeutung haben, trifft dies auch auf die assoziative Matrix-Multiplikation zu.

„Matrix = Basisänderungs-Matrix mal Matrix mal Basisänderungs-Matrix“). Falls eine Matrizeneigenschaft von solchen grundlegenden Änderungen unbeeinflusst bleiben sollte, ist es zweckmäßig, diese unabhängig von der Basis dem zugehörigen Linear-Mapping zuzuordnen. Häufig verwendete Bezeichnungen in Verbindung mit Matrixen sind der Rangfolge und Bestimmungsfaktor einer Matrix. Der Bestimmungsfaktor wird nur für Quadratmatrizen festgelegt, die dem jeweiligen Anwendungsfall genügen; er wird nicht verändert, wenn der gleiche Basisschalter im Definitionsund Wertbereich ausgeführt wird, d. h. beide Basisschaltermatrizen sind gegenläufig: Die beiden Basisschaltermatrizen sind gegenläufig: Sie sind in der Lage, sich gegenseitig zu beeinflussen:

Insofern ist die Bestimmungsgröße auch unabhängig von der Basis. Insbesondere bei multidimensionalen Methoden werden oft Evidenz, Ableitungen etc. in der Matrixrechnung vorgenommen. Grundsätzlich werden Formeln wie die algebraischen Formeln transformiert, aber die Nicht-Kommutativität der Matrix-Multiplikation und die Anwesenheit von Null-Divisoren müssen berücksichtigt werden. Falls die umgekehrte Matrix vorhanden ist, können Sie sie von der linken Seite aus multiplizieren:

Folgende Merkmale von quadratischen Matrizes korrespondieren mit den Merkmalen der von ihnen dargestellten Endeomorphismen. Wird der -dimensionale komplexe Vectorraum als realer -dimensionaler Vectorraum verstanden, so korrespondieren die einheitlichen Matrixen exakt mit jenen Orthogonalmatrizen, die durch Multiplizieren gültig sind, d.h. sie sind indempotent, d.h. die Mehrfachapplikation einer Projektions-Matrix auf einen Vector belässt das Ergebnis nicht.

Ein idempotenter Matrix hat keinen vollständigen Rank, es sei denn, es ist die Einheits-Matrix. Projektions-Matrizen korrespondieren mit der parallelen Projektion entlang des Nullraums der Matrix. Die Matrix wird z.B. in der least squares-Methode eingesetzt. Dazu müssen alle Eingaben der Hauptdiagonalen den Nullwert haben; die übrigen werden an der Hauptdiagonalen spiegelbildlich dargestellt und mit dem Faktor.

Positive definitive Matrizes bestimmen generalisierte skalare Produkte. Wenn die bilineare Form keine Negativwerte hat, wird die Matrix als positive semidefinite bezeichnet. Ebenso kann eine Matrix als negativer definitiver oder negativer semidefiniter bezeichnet werden, wenn die oben genannte bilineare Form nur positive oder gar keine positive Ausprägung hat. Matrizes, die keine dieser beiden Merkmale besitzen, werden als unbestimmt bezeichnet. Wenn eine Matrix komplizierte Ziffern beinhaltet, so wird die Konjugationsmatrix erhalten, indem ihre Bestandteile durch die konjugierten komplizierten Elemente ausgetauscht werden.

Der adjungierten Matrix (auch hermetisch konjugierter Matrix) einer Matrix wird eine Bezeichnung gegeben und korrespondiert mit der vertauschten Matrix, in der alle Elemente zudem aufwändig miteinander verbunden sind. Eine quadratische Matrix besteht aus ihren Subdeterminanten, die auch als Subdeterminanten gelten. Die Bestimmungsgröße wird dann aus der sich ergebenden Matrix errechnet.

Diese Matrix wird auch als Cofaktor-Matrix oder Cofaktor-Matrix bekannt. Ein Transitions- oder Stochastik-Matrix ist eine Matrix, deren Eingaben alle zwischen 0 und 1 liegt und deren Zeilensummen oder -spalten zu 1 führen. Eine Besonderheit sind die doppelstochastischen Matrizes. Bei unendlichen dimensionalen Vektorräumen (auch über schrägen Körpern) wird jedes Linienbild klar durch die Darstellung der Elemente einer Grundfläche festgelegt und kann willkürlich ausgewählt und zu einem Linienbild fortgeführt werden.

Demnach kann jedes Linienbild als eine eventuell endlose Matrix betrachtet werden, aber in jeder einzelnen Kolonne („Zahl“ die Kolonne und die Kolonne, die aus denjenigen der Elemente der numerierten Koordinate besteht) unterscheiden sich letztlich nur viele Eingaben von Null, und vice versa. Dementsprechend ist die Matrix-Multiplikation definiert, die der Zusammensetzung der linearen Bilder entsprechen.

Bei solchen Matrixen mit einer unendlichen Anzahl von Spalteneinträgen, die von Null abweichen, können unter bestimmten Voraussetzungen auch Lineardarstellungen sein, bei denen auch andere Grundbegriffe die Grundlage bilden. Danach erhalten Sie eine Matrix-Darstellung eines Linearoperators (bei nur eng definierten Operanden wirkt es auch, wenn der Definitionsraum eine orthonormale Grundlage hat, die im zählbaren Dimensionsfall immer gilt), indem Sie die Matrix-Elemente definieren; das skalare Produkt befindet sich im berücksichtigten Hilbert-Raum (im komplizierten Falle halblinear im ersten Argument).